【微分の使い道がわかる！】AI講座05.単回帰分析 ＜数式を使った理解編_後半＞｜Pythonで始める人工知能入門講座

単回帰分析＜数学を使って理解編＞の後半です。
微分がどのように回帰分析に使われているのか、なぜ必要なのか。また、微分とはどんなものなのかを説明しています。
数学が苦手だった方も、数学をイメージから理解することで、単回帰分析についてより知識を深めることができます。
レッスンをご覧ください。

▼目次
00:00 はじめに
01:28 微分についての説明
05:27 最小二乗法で傾きと切片を求める
08:22 Pythonで最小二乗法を使って回帰直線を求める方法
10:09 予測の精度評価に使用する係数
14:20 おわりに

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▼書き起こし
最終的に知りたいのは、残差の二乗和が最も小さくなる時の、w0とw1です。
これを求めるのには、どうすればよいのでしょうか。
ここで、使用するのが微分です。
高校のときに習いましたが、微分は最小値や最大値を求めることができる処理です。
どのように求めるのか簡単に説明します。
まず、微分は、簡単にいうと、関数の傾きを求める処理です。
yイコール、xの2乗の関数を使用して説明します。
表示されているのが、yイコール、xの2乗の関数のグラフです。
このグラフでyが最も小さい値になるのは、xの値がいくつの時でしょうか。
視覚的にわかると思いますが、xが0の時、yが最も小さい値になっています。
これを微分では、どのように求めているのでしょうか。
先ほど、微分は傾きを求める処理だといいました。
傾きとは何でしょうか。
傾きは、xの増加量分のyの増加量で定義されています。
この傾きですが、傾きが0に近づくほど、yの最小値に近づくいう性質があります。
具体的に、0から1の傾きと1から2の傾きを求めて見ましょう。
両方とも、xの増加量分は1、yの増加量も1です。
したがって、xの0から1の傾きは、1ぶんの1で、1です。
次に、xが1から2の時の、yの増加量は、xが1の時、yは1、xが2の時、y4なので、yの増加量は3です。
したがって、xの1から2の傾きは、1ぶんの3で、3です。
つまり、xの0から1の傾きは1、xの1から2の傾きは3です。
yの最小値は0です。 xの0から1と、xの1から2の区間では、0から1の区間の方が、yの最小値に近いです。 実際に、0から1の区間の方が、傾きは小さいです。 つまり、ここからわかる通り、傾きが0に近づくほど、yの最小値に近づくいう性質があります。

この傾きですが、xの区間を今の0から1ではなく、0から0.5、0から0.1とだんだんと小さくして考えることもできます。
この区画を限りなく小さくしていくと、区画ではなく、ほぼ、xの値に対しての傾きを求めることができます。
そして、このxの値に対する傾きが0になる点こそ、yの最小値を取ることが知られています。
また、このxの区間を限りなく小さくするという処理が、微分なのです。
つまり、微分して0になるxの値を求めれば、yの最小値を求めることができるのです。
では、実際に微分で、yの最小値を取る、xの値をyイコールxの2乗の関数から求めてみましょう。
xの2乗を、微分すると、2xになります。
微分の計算方法については、ここでは解説しません。
微分について説明して欲しい方がいればぜひコメントください。
そちらも動画で解説動画を作りたいと思います。 微分の計算方法がわからない方は、今はそうなるだと思っていただければ結構です。
そして、微分して傾きが0になる時のxが最小値をとるxです。
ですので、0イコール2xという方程式を解きます。
両辺を2で割り、xイコール0という値が得られます。
微分から、yイコール、xの2乗の最小値を取るxは0という結果が得られました。
求めらえたxの値0を元のyイコール、xの2乗のxに代入すると、yの最小値が得られます。
代入すると、yイコール、0の2乗になるので、yイコール0、グラフから読み取った最小値と同じ値が得られました。
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